Partie 3

Les annexes et les programmes

La Partie 3 de cet ouvrage vous présente 34 annexes qui sont des compléments d’informations. Par exemple, dans l’annexe 18, vous trouverez 10 carrés premiers parfaits d’ordre 3 (formés de 9 nombres premiers consécutifs) trouvés par Harry L. Nelson en 1988. Avant 1988, aucun carré premier parfait d’ordre 3 n’était connu.

Puis, vous trouverez des fichiers et programmes EXCEL (annexe 21), MATHEMATICA (annexe 22) et MAPLE (annexe 23). Ces annexes vous donnent le nom des fichiers et programmes ainsi qu’une brève description de chacun. Avant d’avoir accès à ceux-ci, nous vous suggérons fortement de consulter les annexes 21, 22 et 23.

Annexe 1 : Quelques structures générales

Cette annexe présente les principales structures générales qui permettent la construction de nombreux carrés magiques et carrés multiplicatifs.

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Annexe 2 : Quelques conjectures et observations

Les conjectures présentées ici peuvent être vues comme autant de projets de recherches.

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Annexe 3 : Carrés magiques emboités appelés r-tours

Dans une r-tour, chaque carré magique M devient un autre carré magique si nous ajoutons une bordure autour de M. Vous verrez comment construire une r-tour. Par exemple, dans une 8-tour impaire, vous trouverez 8 carrés magiques d’ordres impairs.

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Annexe 4 : Réflexion sur les inverses

L’inverse par rapport à quelle multiplication?

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Annexe 5 : Des carrés verticaux-alpha, horizontaux-alpha et plus

Ce sont des carrés magiques exceptionnels. Dans chaque colonne (rangée), tous les entiers se terminent par le même chiffre, différent d’une colonne (rangée) à l’autre.

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Annexe 6 : Lemme sur les diagonales brisées

Nous montre comment les diagonales, grandes et brisées, se rencontrent à l’intérieur et à l’extérieur du carré. Il sert à démontrer l’algorithme ALG-1.

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Annexe 7 : Excursion dans les nombres premiers

Cette annexe explore les nombres premiers et les n-uplets de nombres premiers.

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Annexe 8 :  Suite de 16 nombres premiers consécutifs

Nous construisons des carrés premiers parfaits d’ordre 4.

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Annexe 9 :  Carré à la fois magique et multiplicatif

Nous connaissons des carrés presque normaux qui sont à la fois magiques et multiplicatifs; ils sont d’ordres 7, 8 et 9 (voir chapitre 13 de la Partie 2). La présente annexe montre qu’il n’existe pas de tels carrés pour les ordres 3 et 4.

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Annexe 10 : Diviseurs universels

Carré semi-magique d’ordre n qui divise tous les carrés magiques et semi-magiques d’ordre n.

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Annexe 11 : Carrés magiques avec k nombres premiers :

Vous voulez construire un carré magique d’ordre 6 qui contient exactement 5 nombres premiers, c’est très simple!!!

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Annexe 12 : 5040 permutations, 5040 carrés magiques d’ordre 5

Nous permutons les chiffres de tous les entiers d’un carré magique pour obtenir un nouveau carré magique de même somme!!!

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Annexe 13 : Preuves des théorèmes 14.14 et 14.15

Ces théorèmes montrent qu’il existe une infinité de carrés composés presque normaux et une infinité de carrés presque normaux qui renferment n² entiers consécutifs dont un seul est premier.

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Annexe 14 : Preuve du théorème 14.9

On donne ici la dimension de l’espace vectoriel des carrés magiques de sommes nulles qui possèdent l’antisymétrie centrale.

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Annexe 15 : Polynômes rationnels à valeurs entières

On indique ici quand un polynôme à coefficients rationnels prend des valeurs entières lorsque la variable est un entier.

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Annexe 16 :  Structure générale des hyper-magiques d’ordre 10 :

Cette annexe nous permet de construire des hyper-magiques d’ordre 10. L’annexe 16 en présente un presque normal.

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Annexe 17 : Réflexion sur les rotations d’un carré

On propose ici une façon de noter ces rotations.

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Annexe 18 :  Carrés magiques d’ordre 3 avec 9 nombres premiers consécutifs

Nous donne les 27 carrés premiers parfaits connus d’ordre 3.

L’annexe 18.1, présente 23 nouveaux carrés premiers parfaits d’ordre 3 trouvés à l’aide de 3 p-générateurs. Nous en avons maintenant 50 en date du 26 juillet 2020.

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Annexe 19 : Comment j’ai trouvé ALG-1

Montre le cheminement qui conduit à l’algorithme ALG-1 lequel nous permet de construire des carrés arithmétiques associatifs d’ordres impairs.

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Annexe 20 : Applications de carrés magiques

Cette annexe présente quelques applications des carrés magiques.

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Annexe 21 : Les fichiers EXCEL

Le fichier proposé permet de construire une infinité de carrés magiques d’ordres 3 à 32.

Ce chiffrier a été construit par Ginette Bégin.

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Annexe 22 : Les fichiers MATHEMATICA

Ces fichiers (programmes) vous permettent de construire des carrés magiques d’ordres 3 à 24. D’autres vous donnent, pour un carré magique, le nombre de figures magiques, ses 8 équivalents, etc…

Pour utiliser ces programmes, vous devez disposer de l’application MATHEMATICA.

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Cliquez ici pour obtenir les 22 fichiers MATHEMATICA  dans un dossier compressé au format .zip.

Annexe 23 : Les programmes MAPLE

Cette annexe vous présente un grand nombre de programmes dans MAPLE dont CM-arith-2k+1 qui vous permet de construire des carrés magiques (arithmétiques) d’ordres impairs. Un autre nous donne les 7040 carrés magiques normaux d’ordre 4 et les 880 primitifs, etc…

Pour utiliser ces programmes, vous devez d’abord disposer de l’application MAPLE. Téléchargez le dossier « Programme-MAPLE » comprenant les programmes et décompressez-le sur le bureau de votre ordinateur.  Pour ouvrir un programme, chargez d’abord le programme Maple et allez choisir votre programme dans le dossier « Programmes-Maple » sur le bureau de l’ordinateur.
Note : ne pas essayer d’ouvrir un programme en double-cliquant dessus avant de charger le programme Maple.
Ouvrez ensuite l’application MAPLE, choisissez « Bureau » comme dossier des programmes à ouvrir, puis choisissez le programme à utiliser.

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Cliquez ici pour obtenir les programmes MAPLE dans un dossier compressé au format .zip.

Annexe 24 : Le procédé ± r ± t et  ± t ± r pour construire les équivalents

Une autre approche pour construire les équivalents d’un carré magique.

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Annexe 25 : Suites arithmétiques dans un carré magique

On montre comment construire un carré magique dont les n² nombres forment une suite arithmétique.

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Annexe 26 :  L’espace vectoriel des m-Dürer (MD*)

On montre que nous sommes bien en présence d’un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\). Aussi, nous montre comment nous trouvons la structure générale des m-Dürer à partir de la structure générale des Dürer.

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Annexe 27 : Carrés magiques vers carrés multiplicatifs

On y verra comment construire une structure générale de carrés multiplicatifs à partir d’une structure générale de carrés magiques.

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Annexe 28 : Une autre structure générale pour les Dürer

Celle-ci est plus simple que la première!!!

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Annexe 29 : Problèmes supplémentaires

Vous pouvez proposer un nouveau problème (avec solution) sur les carrés magiques ou multiplicatifs que nous ajouterons à l’annexe 29 en indiquant l’auteur de chaque problème.

L’annexe 29.1 présente des solutions aux problèmes de l’annexe 29.

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Annexe 30 : Les carrés géométriques

Semblables aux carrés arithmétiques (chapitre 11), les carrés géométriques sont des carrés multiplicatifs tels que les nombres de ceux-ci forment un tableau géométrique (voir page 2 de l’annexe 30).

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Annexe 31 :  Carrés magiques normaux pandiagonaux d’ordre 7 avec les centres de 1 à 49

Il est faux de croire que ces carrés ont toujours S/n comme centre. À la fin, vous trouverez le bel-intrus-9587. La case centrale renferme le seul nombre premier du carré soit 9587.

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Annexe 32 : Carrés m-ultra-magiques presque normaux

On montre quelques propriétés des m-ultra-magiques et comment en construire un d’ordre 5.

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Annexe 33 :  24 permutations d’où 24 carrés d’ordre 10

On observera ici un groupe de 24 carrés magiques d’ordre 10 avec des propriétés remarquables.

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Annexe 34 :  Projets de recherches; divers

On propose quelques projets de recherches ainsi que deux carrés magiques avec date de naissance.

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