Carrés Magiques : nouveaux horizons

Avant propos

Les carrés magiques existent déjà depuis plusieurs siècles et de nombreuses façons de les construire ont été découvertes tout au long de ces siècles. Un des plus spectaculaires est un carré magique d’ordre 4 trouvé par Dürer au seizième siècle. Il est formé des entiers de 1 à 16 et sa somme magique est 34 (car 34 est la somme obtenue dans chaque rangée, chaque colonne et chaque grande diagonale). Aujourd’hui, nous savons que nous pouvons atteindre cette somme 34 de 86 façons différentes en faisant la somme des nombres situés dans quatre cases distinctes. Dürer le savait-il? Vous pouvez trouver, sur Internet, une grande quantité d’informations historiques ainsi que les procédés de construction de carrés magiques qui existent déjà depuis très longtemps.  C’est pourquoi nous allons passer rapidement à l’étude des carrés magiques et à la présentation d’un tout nouveau procédé pour les construire.

L’approche utilisée ici est plutôt algébrique tout en ne négligeant pas l’aspect géométrique des carrés magiques. Le premier but a été la construction de nombreux et nouveaux carrés magiques d’ordre 4.

Tout ça parce qu’un bon samedi soir, un magicien monte sur scène avec un carré 4×4 à remplir. Il demande à un spectateur de lui fournir un nombre entier entre 50 et 100. Ce fut 82. Rapidement, le magicien remplit les seize cases du carré qui devient un carré magique de somme 82. La somme des entiers de chaque rangée, chaque colonne et chaque grande diagonale est 82, appelée somme magique. La somme des quatre coins, des quatre cases centrales donne aussi 82. Le magicien nous montre ainsi vingt façons différentes de choisir quatre cases qui totalisent l’entier 82.

Mais comment fait-il? Cet objet mathématique est tout simplement extraordinaire!!! En fait, nous verrons que le magicien construisait un carré magique appelé un Dürer, caractérisé par 24 façons différentes d’arriver à la somme 82 (et non 20 façons). De plus, certains Dürer nous permettent de trouver la somme magique jusqu’à 86 façons différentes en faisant la somme des entiers situés dans quatre cases distinctes.

Je ne comprends pas ce qui se passe et je laisse tout cela de côté en me disant que j’allais y revenir plus tard. Mais voilà qu’un ami mentaliste m’invite à un souper-spectacle pendant lequel il nous refait le coup du carré magique! Encore vingt façons d’arriver à la somme donnée au hasard par un spectateur.

Revenu à la maison, la commande est énorme!!! Je me dis qu’il est temps de réagir et de trouver une explication à tout cela. La grande aventure « Carrés Magiques » commence ce jour-là.

Le travail portera sur la construction de carrés magiques d’ordre 4 qui auront le plus grand nombre de figures magiques, une figure magique étant un groupe de quatre cases distinctes dont la somme des nombres qui s’y trouvent est la somme magique. Voilà un de nos objectifs. Pour ce faire, nous avons trouvé un carré magique général M d’ordre 4 qui permet de ne construire que des carrés magiques d’ordre 4 et de les construire tous. Puis en imposant des figures magiques à M, nous avons construit des classes (espaces vectoriels sur les nombres réels) de carrés magiques qui possèdent tous les mêmes figures magiques caractéristiques.

Ces classes ont été nommées : sous-espace des Dürer, des super-Dürer, des super-Dürer-alpha, des super-Dürer-bêta, des A-Dürer, des diaboliques et des diaboliques-alpha. Le célèbre carré magique d’Albert Dürer étant un diabolique-alpha. Nous avons choisi ces noms en l’honneur de Dürer.

Vous pourriez fabriquer d’autres classes (sous-espaces) de carrés magiques en imposant la ou les figures magiques que vous désirez. Nous verrons cela au chapitre 5 de la Partie 2 de l’ouvrage.

Puis la tentation devient trop forte, nous devons aller voir les carrés magiques 3×3, les 5×5 et pourquoi s’arrêter là? Il y a de très beaux 6×6 et 8×8. Finalement, nous décidons de considérer les carrés magiques n×n où n est un entier plus grand ou égal à un. La grande aventure « Carrés Magiques » devient encore plus grande!!!

Dans nos carrés magiques, nous acceptons de placer dans ceux-ci, tout ce qui s’additionne. Pourquoi pas des nombres réels, des nombres complexes, des polynômes, des fonctions quelconques et même des carrés magiques. Mais avant tout, notre premier objectif est de construire des carrés magiques formés d’entiers positifs (> 0) tous différents, que nous appelons carrés magiques presque normaux. Notre deuxième objectif est de construire des carrés magiques formés d’entiers consécutifs à partir de 1, appelés carrés magiques normaux. Puis notre troisième objectif est de construire des carrés magiques dans lesquels nous trouvons le plus grand nombre possible de figures magiques.

L’ouvrage que nous présentons ici est en trois parties.

La première partie s’adresse à tous et n’exige à peu près pas de connaissances mathématiques. Vous y trouverez les notions de base ainsi qu’une galerie de carrés magiques lesquels présentent des propriétés étonnantes. Également, un procédé pour construire un carré magique de toutes les tailles.

Vous voulez construire un carré magique 8×8 qui sera normal, très facile!!! Vous voulez un presque normal 35×35, très facile mais aussi, il faudra compter quelques heures!!! Ce dernier carré magique, une fois construit, sera un objet mathématique extraordinaire!!!

La deuxième partie demande une certaine formation mathématique : connaissance des espaces vectoriels, de la notion de dimension, de l’algèbre linéaire en général. Nous présentons certains théorèmes avec leurs démonstrations complètes mais aussi d’autres avec seulement les idées de base pour que vous puissiez compléter les preuves.

La troisième partie propose un grand nombre de programmes qui permettent la construction de carrés magiques ayant des propriétés spéciales. Il y a également 34 annexes qui sont des compléments d’informations. Par exemple, l’annexe 18 vous présente des carrés magiques d’ordre 3 formés de 9 nombres premiers consécutifs. Quant aux programmes, par exemple, vous trouverez un programme qui permet de construire tous les carrés magiques normaux d’ordre 4; il y en a 7040. Vous comprenez que nous ne puissions pas les placer dans cet ouvrage, mais avec le programme 01 de l’annexe 23, vous pourrez les obtenir. Puis des fichiers qui permettent la construction de carrés magiques pour les ordres 3 à 24 (MATHEMATICA), 3 à 32 (EXCEL) et 3 à 28 (MAPLE). Dans tous les cas, la construction est très simple et fait appel à seulement trois variables. Il vous suffit d’attribuer une valeur entière à chaque variable et le carré magique est aussitôt construit. Nous disons valeur entière car nous préférons des carrés formés d’entiers!!!

Dans la partie 2, nous avons un chapitre sur les carrés multiplicatifs dans lesquels nous faisons le produit des nombres de chaque rangée, chaque colonne et chaque grande diagonale. Si ce produit est le même, appelé produit magique, nous disons que notre carré est multiplicatif.

Chaque fois que nous construisons une nouvelle classe de carrés magiques, nous allons toujours nous demander s’il est possible d’en obtenir qui soient  au moins presque normaux et même qui soient normaux et dans ce cas, combien il y en a.

Par exemple, nous avons fabriqué la classe (sous-espace) des super-Dürer-alpha qui sont des carrés magiques d’ordre 4 caractérisés par 68 figures magiques. Cela signifie que tous ces carrés possèdent les mêmes 68 figures magiques. De plus, nous avons montré qu’il n’existe que huit super-Dürer-alpha normaux. Ils sont dans le chapitre 5 de la Partie 2.

De même pour les carrés multiplicatifs; peuvent-ils n’être formés que d’entiers tous différents et ≥ 1? Nous montrerons que oui.

À la fin de chaque chapitre se trouvent des problèmes qui, nous le souhaitons, vous apporteront une meilleure compréhension des carrés magiques. En cliquant sur Partie 1 du menu, vous aurez accès aux solutions des problèmes de la Partie 1.  De même, en cliquant sur Partie 2 et Partie 3.

Nous vous présenterons un certain nombre de conjectures et nous souhaitons que celles-ci deviennent des théorèmes dans un avenir rapproché!!! Pour établir ces conjectures, nous avons tenu compte d’un grand nombre de cas particuliers (très souvent quelques centaines) et de notre intuition et ce, avec un degré de confiance très élevé.

Suggestions :

Pour l’étude des carrés magiques d’ordre 4, gardez près de vous le carré (*) de 5.1, chapitre 5 de la partie 2.
Dans la section 4.3.1 du chapitre 4 de la partie 2, gardez près de vous les notations utilisées pour les rotations des carrés.

Revenons aux fichiers « Ordre 3 », « Ordre 4 », …  Ceux-ci sont construits à partir de trois algorithmes appelés ALG-1, ALG-2 et ALG-3 (voir chapitre 11).

ALG-1 nous permet de construire des carrés magiques d’ordres impairs. Pour chaque ordre impair n ≥ 3, nous avons une structure générale qui nous permet de construire une infinité de carrés arithmétiques (voir le glossaire de la Partie 1) d’ordre n = 2k + 1. En suivant une toute petite règle, nous pouvons construire une infinité de carrés arithmétiques presque normaux dont au moins un qui sera normal. Pour construire tous ces carrés magiques d’ordre n, nous n’avons besoin que de trois variables a, r et t. Vous donnez à chacune de ces variables une valeur et il en résultera un carré magique arithmétique qui de plus, sera associatif (voir 12 du glossaire de la Partie 1). Mais à partir de cette structure générale, nous n’obtenons pas tous les carrés arithmétiques. D’en obtenir une infinité n’est déjà pas si mal!!!

Il en sera de même avec ALG-2 qui nous permet de construire des carrés magiques d’ordres pairs multiples de 4. Pour chaque ordre pair multiple de 4 à partir de n = 4, nous avons une structure générale qui nous permet de construire une infinité de carrés arithmétiques d’ordre n = 4k.  En suivant la même petite règle, nous pouvons construire une infinité de carrés arithmétiques presque normaux dont au moins un qui est normal. De plus, ces carrés sont tous associatifs.

Enfin, ALG-3 nous permet de construire des carrés magiques d’ordres pairs non multiples de 4. Pour chaque ordre pair non multiple de 4 à partir de n = 6, nous avons une structure générale qui nous permet de construire une infinité de carrés arithmétiques d’ordre n = 4k + 2. En suivant la même petite règle, nous pouvons construire une infinité de carrés arithmétiques presque normaux dont au moins deux qui sont normaux. En général, ils ne sont pas associatifs.

La structure générale des carrés magiques d’ordre 3, par exemple, est un carré magique dans lequel nous trouvons des expressions algébriques dans chacune de ses neuf cases. Nous pourrions avoir dans une case l’expression a. Nous pouvons alors attribuer à a la valeur que nous voulons. Dans chacune des autres cases, nous devons attribuer la même valeur à a dans l’expression qui s’y trouve. Si nous avons posé a = 4, alors dans l’expression S−a−b, nous devons remplacer a par 4, b par sa valeur et S par la sienne. Voyons cette structure générale :

Ce carré d’ordre 3 est magique car la somme obtenue dans chaque rangée, chaque colonne et chaque grande diagonale est toujours la même soit S. Nous y voyons trois variables qui sont  a, b et S. Une des cases renferme l’expression S−a−b, par exemple. Donnons aux trois variables les valeurs a = 4, b = 9 et S = 15. Nous obtenons alors le carré magique :Le premier carré à gauche est sous forme matricielle tandis que celui de droite est sous forme standard. Dans cet ouvrage, nous utiliserons les deux formes. Ici, la somme magique est 15.

Le carré magique (*) est la structure générale des carrés magiques d’ordre 3. Cela signifie que (*) génère que des carrés magiques d’ordre 3 et les génère tous. Cette structure générale n’est cependant pas unique. Si nous avions une autre structure générale (**), alors celle-ci, semblable à (*), nous donnerait également tous les carrés magiques d’ordre 3. Nous dirions alors que les structures (*) et (**) sont équivalentes.

Donc quand nous disons  « voici la structure générale des carrés magiques d’ordre 12 », cela ne doit pas laisser sous-entendre qu’elle est unique. Nous pourrions aussi dire « voici une structure générale … », ce qui laisse sous-entendre qu’il y en a d’autres. Mais les autres sont équivalentes!

Vous trouverez, dans la Partie 3, les fichiers « Ordre 3 », « Ordre 4 » jusqu’à « Ordre 24 » dans MATHEMATICA, jusqu’à « Ordre 32 » dans EXCEL  et au moins jusqu’à « Ordre 28 » dans MAPLE. Ces fichiers vous permettent de construire, pour tous ces ordres, un carré magique normal et une infinité de carrés magiques presque normaux. Tous les carrés magiques ainsi construits sont des carrés arithmétiques; de plus, ils sont associatifs pour les carrés d’ordres impairs et pour ceux d’ordres pairs multiples de 4. Pour construire un carré magique normal d’ordre n, il suffit d’attribuer aux variables a, r et t les valeurs suivantes : a = 1, r = 1 et t = n ou a = 1, r = n et t = 1. Pour avoir un presque normal, il suffit d’attribuer à a, une valeur entière > 0, à r une valeur entière > 0 et à t une valeur entière > 0 avec t > (n – 1) r. Par exemple, pour n = 8, nous pouvons prendre a = 5, r = 3 et t = 22 ou tout entier > 21. Nous voyons qu’alors, il existe une infinité de carrés arithmétiques presque normaux. Notons ici que l’ordre d’un carré magique nous indique sa taille. Le petit carré ci-haut est d’ordre 3. Nous disons aussi que c’est un 3×3.

Chaque triplet (a ; r ; t) détermine donc un carré magique. Et oui, trois nombres suffisent!!!

Dans chaque fichier, vous trouverez la structure générale qui vous permettra de construire une infinité de carrés magiques presque normaux et au moins un carré normal. Ceux-ci sont tous arithmétiques (voir chapitre 11). Cependant, cette structure ne vous donne pas tous les carrés arithmétiques. C’est le cas avec MATHEMATICA.

Avec EXCEL, vous trouverez les trois carrés de base avec lesquels nous obtenons la structure générale, illustrée dans MATHEMATICA mais non dans EXCEL. Vous pouvez voir aussi les trois carrés de base dans MATHEMATICA.

Avec MAPLE, nous avons un premier programme qui vous permet de construire des carrés arithmétiques pour tous les ordres impairs à partir de n = 3. Cependant, pour imprimer ces carrés, il ne faut pas que l’ordre soit trop grand. Pour les voir à l’écran, sans problème, nous allons jusqu’à n = 53. Nous pourrons choisir un plus grand n si nous avons un plus grand écran!!! Ce programme se nomme CM-arith-2k + 1.

Notre deuxième programme, CM-arith-4k, permet de construire des carrés arithmétiques pour tous les ordres pairs multiples de 4 à partir de n = 4. Notre écran nous permet d’aller jusqu’à l’ordre n = 44.

Notre troisième programme, CM-arith-4k + 2, permet de construire des carrés arithmétiques pour tous les ordres pairs non multiples de 4 à partir de n = 6. Notre écran nous permet d’aller jusqu’à l’ordre n = 46.

Dans chacun de ces trois programmes, il vous faut préciser la valeur de n, l’ordre du carré normal  que vous voulez construire. Pour les presque normaux, il vous faudra préciser la valeur de n, a, r et t, tout en respectant t > (n−1)r  ou  r > (n−1)t, condition suffisante pour avoir un presque normal sachant que déjà a, r et t prennent des valeurs entières > 0.

Dans la mesure du possible, nous chercherons toujours le nombre de figures magiques que possède un carré magique c’est-à-dire sa fréquence que nous notons f(S) où S est sa somme magique.

Nous verrons que parmi les carrés magiques, certains sont remarquables :

• • Les ultra-magiques et les hyper-magiques.
  • Certains carrés d’ordre 4, les super-Dürer-alpha par exemple (il n’y  a que 8 normaux).
  • Carrés magiques formés exclusivement de nombres premiers.
  • Carrés magiques formés exclusivement de nombres composés.
  • Carrés magiques formés exclusivement de fonctions.
  • Carrés k-multi-magiques.
  • Carrés doublement magiques.
  • Carré magique d’ordre 8 qui renferme un seul nombre premier, par exemple.
  • Et ainsi de suite…

Puis les carrés multiplicatifs dans lesquels la multiplication remplace l’addition. Nous savons qu’à chaque carré magique correspond un carré multiplicatif et qu’à chaque carré multiplicatif correspond un carré magique.

Nous verrons aussi quelques cubes magiques parfaits.

On nous demande souvent à quoi servent les carrés magiques.

1. 1. Au plaisir qu’ils nous donnent. Ils sont des objets mathématiques extraordinaires d’une grande beauté!!! Il nous est facile d’admirer certains carrés magiques ou cubes magiques ou carrés multiplicatifs de la même façon que nous pouvons admirer « La Ronde de nuit » de Rembrandt ou les symphonies de Mahler!!!
   2. Ils nous permettent de résoudre plus simplement certains problèmes de mathématique.
   3. Ils servent dans l’industrie du tissage.
   4. Certains magiciens les utilisent.
   5. On les utilise en biologie.

Dans notre travail, l’expression « carré magique » reviendra très souvent puisque c’est le sujet de l’ouvrage. Par contre, quand le contexte le permettra, nous pourrons simplement utiliser le mot « carré ».

Vous trouverez les notations et symboles à la fin du glossaire 2 de la Partie 2.

Dans la Partie 1 de l’ouvrage, vous trouverez un grand nombre de carrés magiques numérotés. Par exemple, nous ferons référence au carré 20, au carré 28, au carré 34…

Toujours dans la Partie 1, nous parlerons de sections au lieu de chapitres. Il y en a 12 en tout. Nous ferons aussi référence à certains problèmes. Par exemple, le problème 59 de 5.18. Vous le trouverez dans le chapitre 5, section 5.18 dans la Partie 2.

L’annexe 29 présente des problèmes supplémentaires, l’annexe 29.1, les solutions. Vous pouvez profiter de cette annexe pour présenter vos problèmes (avec solutions) relatifs aux carrés magiques et multiplicatifs. Vous nous les envoyez afin que nous puissions les placer dans l’annexe 29 en indiquant, bien entendu, votre nom et vos coordonnées.

Remarque :  L’ouvrage en entier, peu importe sa version, est l’ensemble des trois Parties décrites ci-dessus.

Bien que tous les éléments de cet ouvrage soient disponibles sur ce site, séparément pour plus de commodité, vous pouvez télécharger le document complet (1190 pages en format PDF de 417,3 Mo) directement depuis la Bibliothèque et Archives nationales du Québec (BanQ) à l’adresse suivante : http://collections.banq.qc.ca/ark:/52327/bs4353355