Chapitre 7 : Carrés ultra-magiques et hyper-magiques
7.1 Introduction
Nous allons définir ici des carrés magiques exceptionnels qui montreront un grand nombre de figures magiques ainsi que des propriétés remarquables.
D’abord, ces carrés magiques seront tous pandiagonaux. Nous savons que si un carré magique normal d’ordre pair est pandiagonal alors l’ordre du carré est divisible par 4 ([3], page 7). Ainsi, les carrés magiques normaux d’ordres 6, 10, 14, …, 4k + 2, … ne peuvent pas être pandiagonaux.
Par exemple, un carré magique normal d’ordre 6 ne peut pas être pandiagonal. Est-ce aussi le cas pour un carré magique quelconque d’ordre 6? Pourrions-nous trouver un carré magique presque normal d’ordre 6 qui serait pandiagonal?
La réponse est oui. Dans la section 7.2, nous allons construire des carrés magiques presque normaux pandiagonaux d’ordre 6. Plus précisément, nous allons construire des hyper-magiques.
Rappelons qu’un carré magique de somme S est un ultra-magique si et seulement si :
a) Le carré magique est pandiagonal.
b) Quelle que soit la paire de cases symétriques par rapport au centre du carré, la somme des nombres qui s’y trouvent est toujours égale à \(\frac{2S}{n}\); autrement dit, le carré est associatif.
Donc, si n est impair, le centre d’un carré magique associatif est toujours \(\frac{S}{n}\). Il est facile de trouver des figures magiques dans un ultra-magique. Par exemple, dans un ultra-magique d’ordre 7, si vous prenez 3 paires de cases symétriques par rapport au centre plus le centre, vous obtenez une figure magique puisque la somme sera \(3 \times \frac{2S}{7}+\frac{S}{7} = S\).
Avec un ultra-magique d’ordre 10, si vous prenez 5 paires de cases symétriques, alors vous obtenez une figure magique puisque la somme sera \(5 \times \frac{2S}{10} = S\).
Il sera aussi facile de trouver des figures magiques dans un hyper-magique. Rappelons d’abord ce qu’est un tel carré magique (voir carré 28 de la partie 1 et le texte qui suit) :
Un carré magique est un hyper-magique si et seulement si :
a) Le carré est d’ordre pair.
b) Chaque fois que nous prenons un sous-carré d’ordre 2 dans le carré, la somme de ses quatre cases est toujours \(\frac{4S}{n}\).
c) Sur toutes les diagonales, grandes ou brisées, deux cases séparées de \(\frac{n-2}{2}\) cases totalisent toujours \(\frac{2S}{n}\).
Nous voyons que l’ordre d’un hyper-magique ne peut pas être impair puisque \(\frac{n-2}{2}\) doit être un entier. Les hyper-magiques ont des propriétés extraordinaires! Les théorèmes suivants en témoignent :
Théorème 7.1 :
Théorème 7.2 :
[…]