Chapitre 10

Chapitre 10 : Carrés magiques premiers

10.1  Introduction

En général, les carrés magiques sont formés d’entiers positifs tous différents deux à deux; certains renferment tous les entiers consécutifs de 1 à n². Mais que dire d’un carré magique qui renferme que des nombres premiers tous différents et dont la somme magique est elle même un nombre premier?

Si un carré magique contient que des nombres premiers, alors nous dirons que ce carré magique est un carré premier. Si en plus, la somme d’un carré premier est un nombre premier, alors nous dirons que ce carré est super-premier. Notre premier objectif est de trouver des carrés premiers presque normaux. Les carrés magiques 3 et 10 de la partie 1 sont de tels carrés.

Nous allons tenter de construire trois types de carrés premiers d’ordre n :

    1. Les carrés premiers ordinaires qui seront formés de nombres premiers quelconques.
    2. Les carrés premiers parfaits qui seront formés de n² nombres premiers consécutifs.
    3. Les carrés hyper-premiers qui seront formés de nombres premiers tels que ceux-ci forment une suite arithmétique non triviale (de raison non nulle).

Rappelons qu’un nombre premier est un entier ≥ 2 qui ne possède que deux diviseurs entiers distincts ≥1 donc qui n’est divisible que par 1 et lui-même. En conséquence, 1 n’est pas un nombre premier. Voici la liste des 17 premiers nombres premiers :

{2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59…}

Tous les nombres premiers, excepté 2, sont impairs. Le théorème fondamental de l’arithmétique, quant à lui, nous apprend que tout entier naturel ≥ 2 qui n’est pas un nombre premier, se décompose en un produit de nombres premiers et ce, de façon unique à l’ordre près des facteurs. Comme exemples :

4 = 2 × 2; 30 = 2 × 3 × 5 = 3 ×5 × 2; 5678 = 2 × 17 ×167

10.2 Carrés premiers ordinaires

Nous avons fabriqué un programme dans MAPLE qui nous permet de construire des carrés premiers ordinaires d’ordres 3, 4 et 5. Voici l’idée : à partir d’une liste de nombres premiers, nous construisons des carrés et retenons seulement ceux qui sont magiques et sans répétition. Vous le trouverez dans la partie 3, annexe 23.

Voici trois exemples de carrés premiers presque normaux :


Le premier (1), d’ordre 3, a pour somme 219, un nombre non premier.

Le deuxième (2), d’ordre 4, a pour somme 336, un nombre non premier.

Le troisième (3), d’ordre 5, a pour somme 313, un nombre premier.

Il est déjà très impressionnant d’avoir un carré magique formé de nombres premiers tous différents mais lorsque la somme magique est encore un nombre premier, cela est presque du domaine de la magie!!!

Quand pouvons-nous obtenir une somme magique qui est un nombre premier?

Comme nous avons vu au chapitre 4, les carrés magiques d’ordre 1 ne nous intéressent pas vraiment. Ils se confondent avec les nombres réels et si un tel carré renferme un nombre premier p, alors il est clair que la somme sera le nombre premier p.

Les carrés magiques d’ordre 2 sont tous triviaux et si l’un d’eux renferme le nombre premier p, alors la somme magique sera 2 p qui n’est pas un nombre premier puisque p ≥ 2. Donc aucun carré magique d’ordre 2 formé de nombres premiers ne peut avoir comme somme, un nombre premier.

Quant aux carrés magiques d’ordre 3, nous savons que le nombre central est toujours \(\frac{S}{3}\). Si ce nombre est le nombre premier p, alors S = 3p qui n’est jamais un nombre premier puisque p ≥ 2. La somme d’un carré magique d’ordre 3 ne sera jamais un nombre premier si le nombre central est un nombre premier.

Théorème 10.1 :

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