Chapitre 5

Chapitre 5 : Les carrés magiques d’ordre 4

5.1  Introduction

En vertu des théorèmes 2.1 et 3.4, E4 est un espace vectoriel sur le corps \(\mathbb{R}\) des nombres réels,
de dimension 8 dont revoici la structure générale déjà établie plus haut :


Tous les carrés magiques d’ordre 4 proviennent de (2) . Si nous voulons construire un carré magique normal à partir de (2) , alors nous rencontrerons la difficulté suivante : quelles sont les valeurs entières que nous devons attribuer aux sept variables sachant que S = 34? Il arrive fréquemment que nous trouvions des répétitions et des nombres négatifs dans notre carré. Comment les éviter? Nous avons un programme dans MAPLE (voir la partie 3) qui nous permet de trouver tous les carrés magiques normaux d’ordre 4. Il y en a 7040. Mais en trouver un à partir de cette structure générale (2) n’est pas chose facile. Notez que (2) contient huit variables libres puisque la dimension de E4 est 8. Cela signifie que nous pourrions trouver dans E4 , huit carrés magiques linéairement indépendants :  A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, tels que tout carré magique M d’ordre 4 s’écrive :

Ma A1b A2c A3d A4 + e A5f A6 + g A7 + S A8

Si nous imposons une figure magique à la structure générale (2) , alors nous obtiendrons un sous-espace vectoriel (ou simplement sous-espace) dont la dimension sera inférieure à 8. Ainsi, il sera peut-être plus facile de construire un carré normal ? Cependant, plus nous aurons des figures imposées, plus la dimension du sous-espace diminuera et plus il sera facile de trouver les carrés normaux. C’est ce que nous verrons très prochainement dans ce chapitre.

À chaque fois que nous aurons un sous-espace et sa structure générale, nous allons toujours essayer de savoir si ce sous-espace renferme des carrés normaux et si oui, combien en a-t-il. Le sous-espace est normal s’il renferme au moins un carré magique normal et s’il en renferme k, nous dirons que le sous-espace est normal d’ordre k. S’il n’est pas normal, le sous-espace sera dit presque normal s’il renferme au moins un carré magique presque normal.

Nous allons créer des sous-espaces de carrés magiques d’ordre 4 qui seront remarquables quant au nombre de figures magiques qu’ils posséderont. Chaque sous-espace de carrés magiques sera représenté par une structure générale, c’est-à-dire, par un carré magique général lequel renfermera, dans chacune de ses cases, une expression linéaire formée par un certain nombre de variables. En remplaçant chacune de ces variables par un nombre réel, nous obtiendrons un carré magique particulier de ce sous-espace et tous les carrés magiques de ce sous-espace proviendront de la structure générale qui lui est associée.

Pour chaque structure générale E, nous trouverons sa fréquence, notée f (E) , laquelle indiquera le nombre de figures magiques que possède E . Donc, si f (E) = m, alors tous les carrés magiques issus de E renfermeront ces m figures magiques et possiblement d’autres.

Ce qui veut dire que si A est un carré magique de somme S issu de E , alors nous aurons :

f(S) ≥ m

Cela signifie que tous les carrés magiques issus de E ont en commun ces m figures magiques mais peuvent en avoir d’autres. Nous montrerons qu’il est toujours possible de trouver un carré magique issu de E qui possède exactement ces m figures magiques et seulement celles-ci. Donc,
tous les carrés magiques issus de E ne peuvent pas avoir en commun plus que m figures magiques. Nous illustrerons ces m figures magiques, dans la mesure du possible, pour chaque sous-espace de carrés magiques d’ordre 4. Nous dirons que ces figures magiques caractérisent le sous-espace.

Les sous-espaces de carrés magiques que nous allons construire sont arbitraires. Sauf le sous-espace des carrés magiques d’ordre 4, tous les autres seront construits à partir de celui-ci en imposant des figures magiques que nous allons choisir de façon arbitraire. Cependant, plusieurs de ces figures proviennent du célèbre carré d’Albert Dürer. Nous avons trouvé les 86 figures
magiques de ce dernier, et oui, il y en a exactement 86. Nous les verrons plus loin.

Vous allez voir comment nous avons construit les différents sous-espaces présentés dans ce chapitre et comment vous pourriez en construire d’autres. Nous allons souvent faire référence au carré d’ordre 4 suivant afin de nommer les figures magiques ou d’écrire les équations qui vont servir à définir un sous-espace.


La première rangée est une figure qui sera notée ABCD, la deuxième colonne BFKQ, le cerf-volant haut gauche EBGQ, le cerf-volant bas droite KRNC, la fusée haut gauche FKPR, la fusée bas droite MGBD, l’escalier JFCD, le cerf-volant gauche haut BEKH, …

Nous parlerons du carré (*) de 5.1 lorsque nous ferons référence au carré ci-haut.

[…]

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