Chapitre 3

Chapitre 3 : Structures générales des espaces vectoriels sur le corps des nombres réels, formés de carrés magiques et dimensions

Considérons l’espace vectoriel sur des carrés magiques d’ordre n. Nous allons trouver un carré magique général, formé de 2 n expressions algébriques linéaires, chaque expression renfermant un certain nombre de variables. Pour avoir un carré magique particulier, il suffira de remplacer chaque variable par un nombre réel. Chaque fois que nous ferons cela, nous obtiendrons un carré magique particulier et de plus, tout carré magique sera obtenu de cette façon. Ce carré magique général est appelé structure générale. Celle-ci n’est pas unique.

Nous pouvons voir la structure générale comme une «machine» à fabriquer des carrés magiques d’ordre n et à les fabriquer tous. Une autre structure générale est équivalente à la première en ce sens qu’elle permettra de construire les mêmes carrés magiques.

Il est bien évident que cette structure générale dépend de n. Comment allons-nous la construire? Nous commençons avec n = 3. Pour que le carré suivant soit magique, il faut avoir :

L’ensemble des carrés magiques d’ordre n formés de nombres réels est un
espace vectoriel sur le corps des nombres réels.

a + b + c = S
d
+ e + f = S
a
+ d + g = S
b
+ e + h = S

Il s’ensuit que :

c = S – a – b
f = S – d – e
g = S – a – d
h = S – b – e

et ainsi, quatre variables (c, f , g , h) ne sont plus dans le carré mais la variable S, elle, vient d’apparaitre. Si nous posons :

A = a + b + d + e

alors, c + f = 2SA = g + h d’où k = S – (2SA) = A – S. Ainsi notre carré est semi-magique; la somme dans chaque rangée et chaque colonne donne S et ce, quelle que soit la valeur attribuée aux cinq variables a, b, d, e, S.

Maintenant, pour que notre carré soit magique, il faut et il suffit que la somme dans chaque grande diagonale donne S :

Puis le système (*) est équivalent au système :


Il est très important d’observer ici que le système (**) possède une solution unique en d et e.  Enfin, le système (**) est équivalent au système suivant :

 

[…]

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