Chapitre 4 : Les carrés magiques d’ordre 1, 2 et 3
4.1 Les carrés magiques d’ordre 1
Il s’agit d’un carré formé d’une seule case dans laquelle nous avons placé un nombre :
Par exemple, le carré ci-dessus renferme le nombre 35. Il n’y a qu’une seule rangée, une seule colonne et par défaut, nous dirons que les diagonales se confondent avec la rangée qui elle-même, se confond avec la colonne.
De tels carrés ne présentent pas vraiment d’intérêt. En quelque sorte, ils s’identifient aux nombres réels. Personne ne sera impressionné si nous disons que la somme dans chaque rangée, chaque colonne et chaque diagonale est 35.
Afin de simplifier, nous écrirons un carré magique sous la forme matricielle. Ainsi, le carré ci-haut s’écrira :
(35)
L’addition de tels carrés se fait comme pour les nombres réels :
(35) + (18) = (53)
et le produit d’un nombre par un carré se fait comme suit :
7(35) = (245)
Nous ne reviendrons pas sur ces carrés magiques d’ordre 1.
4.2 Les carrés magiques d’ordre 2
Un carré magique d’ordre 2 est formé de 4 cases et doit obligatoirement avoir la forme :
\[ \left(
\begin{array}{ c c }
A & B \\
B & A
\end{array} \right)
\]
Puisqu’il est magique, il faut 2 A = A + B et 2B = A + B d’où A = B . Si un carré d’ordre 2 est magique, il est donc forcément trivial :
\[ \left(
\begin{array}{ c c }
A & A \\
A & A
\end{array} \right)
\]
Théorème 4.1 :
Il est évident que la somme de deux carrés triviaux de sommes S et T est un carré trivial de somme S + T et que le carré trivial de somme S, s’il est multiplié par le nombre k, deviendra un carré trivial de somme k S.
Ces carrés magiques ne sont pas très spectaculaires puisqu’ils sont triviaux. Cependant, les carrés triviaux seront d’une grande utilité un peu plus loin.
4.3 Les carrés magiques d’ordre 3, première structure générale
Un des plus anciens carrés magiques d’ordre 3 est :
\[ \left(
\begin{array}{ c c c }
4 & 9 & 2 \\
3 & 5 & 7 \\
8 & 1 & 6
\end{array} \right)
\]
Sa somme est S = 15 et de plus, il est normal puisqu’il renferme tous les entiers de 1 à 9. Un carré magique d’ordre 3 possède une propriété très intéressante : le nombre central est toujours \(\frac{S}{3}\). Dans notre exemple, \(\frac{S}{3} = \frac{15}{3} = 5\), le centre du carré. Donc, si un carré magique d’ordre 3 est normal, alors son centre doit être le nombre 5. Nous ne pouvons pas construire un carré magique d’ordre 3, de somme S = 36, si son centre n’est pas 12.
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