1. Introduction
La deuxième partie de l’ouvrage s’adresse principalement à tous ceux et celles qui veulent aller plus loin dans l’étude des carrés magiques. La théorie y sera beaucoup plus présente et une bonne base en mathématiques et en particulier en algèbre linéaire sera très utile. Nous allons présenter un bon nombre de nouveaux résultats en y mentionnant les principales idées qui permettront au lecteur de construire ou de compléter la démonstration de ceux-ci. Pour d’autres résultats, les démonstrations seront complètes.
Nous allons voir que l’ensemble des carrés magiques d’ordre n formés de nombres réels est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels. La dimension de cet espace est n (n – 2). Nous allons nous intéresser à de nombreux sous-espaces vectoriels de dimensions inférieures. Dans le cas des carrés magiques d’ordre 4, nous avons créé un certain nombre de sous-espaces vectoriels de différentes dimensions à partir de figures magiques imposées, ce qui est un peu arbitraire. Mais le lecteur peut voir comment nous avons fait et il peut, à son tour, créer de nouveaux sous-espaces avec ses propres figures magiques qu’il imposera.
Une question importante se pose dès que nous avons un sous-espace de carrés magiques qui eux, ont été fabriqués à partir de figures imposées : existe-t-il des carrés magiques normaux dans ce sous-espace? Et si oui, combien y en a-t-il? S’il y en a, alors nous allons tenter de les trouver tous, dans la mesure du possible!!! En effet, les carrés magiques normaux d’ordre 8 sont tellement nombreux que nous n’avons pas encore réussi à en déterminer le nombre exact; il s’agit ici de plusieurs centaines de milliards!!!
De grandes nouveautés se retrouvent dans la partie 2 : les carrés arithmétiques et le nouveau procédé de construction de carrés magiques d’ordre n ≥ 3 relié au théorème fondamental des carrés magiques. Les carrés fonctionnels dans lesquels des fonctions prennent la place des nombres dans les cases des carrés. Par exemple, la somme magique d’un tel carré magique pourrait être x² + 2cos(3x). Des résultats très intéressants sur les carrés fonctionnels nous attendent. Puis les produits matriciels de carrés magiques. Le résultat d’un tel produit est-il un carré magique? En général, la réponse est non. Le produit est cependant toujours un carré semi-magique. Si A et B sont deux carrés magiques, alors nous sommes certains que le produit AB est semi-magique. Avec de nombreux sous-espaces, nous verrons qu’il arrive souvent que le produit (AB) B soit magique.
Nous verrons aussi que si nous appliquons une certaine permutation à tous les nombres de certains carrés magiques, alors le nouveau carré obtenu est encore magique et de même somme. Tout simplement extraordinaire!!! Il y aura aussi les carrés magiques de sommes consécutives puis les carrés doublement magiques.
Et ce n’est pas fini!!!